уравнение шредингера в электромагнитном поле

(штрихи обозначают дифференцирование по х).

Но дальше мы знаем, что если функция С(х) достаточно плав]ная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем ато]мы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизитель]но описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому следую]щим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням b, считая b очень малым. К примеру, если b=0, то правая часть будет равна просто (Е0-2К)С(х), так что в нулевом приближе]нии энергия равняется Е0-2К. Затем пойдут степени b, но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, оста]нутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора С(х), f(x) и экспоненты и соберете затем члены с b2, вы получите

В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке х, есть некоторая энергия Е0. Это, как обычно, дает член Е0С(х). Затем имеется член КС(х+b), т. е. амплитуда того, что электрон от атома n+1, расположенного в х+b, отпрыг]нул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии век]торного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться со]гласно правилу (19.1). Если Ах на расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать по]просту в виде значения Ах посредине, умноженного на расстоя]ние. Итак, произведение (iq/h) на интеграл равно ibf(x+b/2). А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже бе]рется векторный потенциал с другой стороны от х, на расстоя]нии b/2, и умножается на расстояние b. Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке х.

Чтобы стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстриро]вать это простым примером, когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси x на расстоянии b друг от друга, и существует амплитуда К того, что электрон перепрыгнет в отсутствие поля от одного атома . Тогда, согласно уравнению (19.1), если имеется вектор-потен]циал Аx(х, t) в x-направлении, то амплитуда перескока по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на exp[(iq/h)Axb] экспоненту с показателем, равным произведению iq/h на векторный потенциал, проинтегрирован]ный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать (q/h) Axºf(x), поскольку Ах, вообще говоря, зависит от х. Если обозначить через С(х)ºСn амплитуду того, что электрон обнаружится возле атома n, расположенного в точке х, то скорость изменения этой амплитуды будет даваться уравнением

Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом q (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле А, j.

каждый раз заменять на градиент минус (iq/h)А, так что (19.2) пре]вращается в

где j электрический потенциал, так что qj . А уравнение (19.1) равнозначно утвержде]нию, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно

И вот в отсутствие векторного потенциала уравнение Шре]дингера для заряженной частицы (нерелятивистской, без спина) имеет вид

Это исходное утверждение квантовой механики.

Амплитуда того, что частица при наличии поля пе]рейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19.1), равна амплитуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на экспоненту от криволинейного интеграла от век]торного потенциала, умноженного в свою очередь на элект]рический заряд и деленного на постоянную Планка [см. гл. 15, W 2 (вып. 6)]:

Фиг. 19.1. Амплитуда перехода из а в b по пути r пропорциональна

Начну с того, что напомню вам кое-какие свойства уравне]ния . Я хочу с помощью уравнения Шредингера описать поведение частицы в магнитном поле, потому что явле]ния сверхпроводимости связаны с магнитными полями. Внеш]нее магнитное поле описывается векторным потенциалом, и вопрос состоит в том, каковы законы квантовой механики в поле векторного потенциала. Принцип, определяющий квантовомеханическое поведение частицы в поле векторного потенциала, очень прост.

При низких температурах, когда энергия системы очень-очень сильно убывает, вместо прежнего громадного количества состояний в игру включается только очень-очень малое количе]ство состояний тех, которые расположены неподалеку от основного. При таких условиях квантовомеханический характер этого основного состояния может проявиться на макроскопиче]ском уровне. Вот целью этой лекции и будет продемонстрировать связь между квантовой механикой и крупномасштабными эф]фектами не обычное обсуждение пути, по которому кванто]вая механика в среднем воспроизводится ньютоновой механи]кой, а специальный случай, когда квантовая механика вызывает свои собственные, характерные для нее эффекты в крупных, «макроскопических» размерах.

Обычно та волновая функция, которая появ]ляется в уравнении Шредингера, относится только к одной или к двум частицам. И сама волновая функция классическим смыслом не обладает в отличие от электрического поля, или векторного потенциала, или других подобных вещей. Правда, волновая функция отдельной частицы это «поле» в том смысле, что она есть функция положения, но классического значения она, вообще говоря, не имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в которых квантовомеханическая волновая функция действи]тельно имеет классическое значение, именно их я и хочу кос]нуться. Своеобразие квантовомеханического поведения веще]ства в мелких масштабах обычно не дает себя чувствовать в круп]номасштабных явлениях, если не считать стандартных выводов о том, что оно вызывает к жизни законы Ньютона, законы так называемой классической механики. Но существуют порой об]стоятельства, в которых особенности квантовой механики могут особым образом сказаться в крупномасштабных явлениях.

Но это не все. Главное что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законно вы]нести ее на семинар. Тема эта классический аспект уравнения Шредингера, явление сверх]проводимости.

Эту лекцию я читаю вам для развлечения. Захотелось посмотреть, что получится, если начать читать в немного ином стиле. В курс она не входит, и не думайте, что это попытка обучить вас в последний час чему-то новому. Я скорее воображаю, будто провожу семинар или будто делаю отчет об исследованиях перед более подготовленной аудиторией, перед людь]ми, которые в квантовой механике уже многое понимают. Основное различие между семинаром и регулярной лекцией в том, что на семинаре докладчик не приводит все стадии, всю алгебру выкладок. Он просто говорит: «Если вы проделаете то-то и то-то, то получится вот что», а в детали не входит. Вот и в этой лекции будут только высказываться идеи и приводиться результаты расчетов. А вы должны понимать, что вовсе не обязательно во всем немедленно и до конца разбираться, надо только верить, что если проделать все выкладки, то все так и полу]чится.

W 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле

Уравнение шредингера в классическом контексте

Уравнение шредингера в классическом контексте | AllPhysics.ru